已知函数 $f(x)=\dfrac 1a x^2-2x-b$（$a>0$）在 $[-2,3]$ 上的最大值为 $6$，最小值为 $-3$，求 $a$，$b$ 的值．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$(a,b)=(1,2),\left(5,-\dfrac 65\right)$
【解析】
注意到，函数 $f(x)$ 的图象开口向上，对称轴为直线 $x=a$，区间 $[-2,3]$ 的中点为 $\dfrac 12$．
情形一 当 $0<a<\dfrac 12$ 时，由$$\begin{cases}f(3)=6,\\ f(a)=-3.\end{cases}$$即$$\begin{cases}\dfrac 9a-6-b=6,\\ -a-b=-3.\end{cases}$$得无解；
情形二 当 $\dfrac 12\leqslant a \leqslant 3$ 时，由$$\begin{cases}f(-2)=6,\\ f(a)=-3.\end{cases}$$即$$\begin{cases}\dfrac 4a+4-b=6,\\ -a-b=-3.\end{cases}$$得 $(a,b)=(1,2)$；
情形三 当 $a>3 $ 时，由$$\begin{cases}f(-2)=6,\\ f(3)=-3.\end{cases}$$即$$\begin{cases}\dfrac 4a+4-b=6,\\ \dfrac 9a-6-b=-3 .\end{cases}$$得 $(a,b)= \left(5,-\dfrac 65\right)$．
综上，$(a,b)=(1,2),\left(5,-\dfrac 65\right)$．
综上，$(a,b)=(1,2),\left(5,-\dfrac 65\right)$．
答案
解析
备注
