已知 $x,y,z$ 都是正数，且 $x+y+z=1$，若 $x^2+y^2+z^2+\lambda\sqrt{xyz}\leqslant 1$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt3$
【解析】
由 $x^2+y^2+z^2+\lambda\sqrt{xyz}\leqslant 1$ 及 $x+y+z=1$ 得$$x^2+y^2+z^2+\lambda\sqrt{xyz}\leqslant (x+y+z)^2,$$即$$\lambda\leqslant \dfrac{2(xy+yz+zx)}{\sqrt{xyz}},$$而$$\begin{split} \dfrac{2(xy+yz+zx)}{\sqrt{xyz}}&=\dfrac{2\sqrt{(xy+yz+xz)^2}}{\sqrt{xyz(x+y+z)}}\\
&\geqslant \dfrac{2\sqrt{3(x^2yz+y^2xz+z^2xy)}}{\sqrt{x^2yz+xy^2z+xyz^2}}\\
&=2\sqrt3.\end{split}$$上述不等式当且仅当 $x=y=z=\dfrac13$ 时，等号成立，所以实数 $\lambda$ 的最大值为 $2\sqrt3$．
&\geqslant \dfrac{2\sqrt{3(x^2yz+y^2xz+z^2xy)}}{\sqrt{x^2yz+xy^2z+xyz^2}}\\
&=2\sqrt3.\end{split}$$上述不等式当且仅当 $x=y=z=\dfrac13$ 时，等号成立，所以实数 $\lambda$ 的最大值为 $2\sqrt3$．
答案
解析
备注
