设二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c,a>0$，方程 $f(x)-x=0$ 的两根 $x_1,x_2$ 满足 $0<x_1<x_2<\dfrac1a$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
当 $0<x<x_1$ 时，证明 $0<f(x)<x_1$；标注答案略解析令 $F(x)=f(x)-x$，因为 $x_{1,2}$ 是方程 $f(x)-x=0$ 的两个根，所以$$F(x)=a(x-x_1)(x-x_2),$$当 $x\in(0,x_1)$ 时，由于 $x_1<x_2$，所以此时$$F(x)=(x-x_1)(x-x_2)>0,$$所以$$f(x)>x>0.$$而$$\begin{split} x_1-f(x)&=x_1-[x+F(x)]\\
&=x_1-x-a(x-x_1)(x-x_2)\\
&=(x_1-x)[1+a(x-x_2)],\end{split}$$又因为$$0<x<x_1<x_2<\dfrac1a,$$所以 $x_1-x>0$ 且$$1+a(x-x_2)=1+ax-ax_2>1-ax_2>0.$$所以 $x_1>f(x)$，综上证得$$0<f(x)<x_1,$$ -
设函数 $f(x)$ 的图象，关于直线 $x=x_0$ 对称，证明：$x_0<\dfrac{x_1}{2}$．标注答案略解析因为 $x_{1,2}$ 是方程 $ax^2+(b-1)x+c=0$ 的根，所以$$x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{ax_1+ax_2-1}{2a},$$因为 $ax_2<1$，所以$$x_0<\dfrac{ax_1}{2a}=\dfrac{x_1}{2}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
