正实数 $x_1,x_2$ 及函数 $f(x)$ 满足：$4^x=\dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$，且 $f(x_1)+f(x_2)=1$，求 $f(x_1+x_2)$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac45$
【解析】
根据题中所给条件等式可得$$f(x)=\dfrac{4^x-1}{4^x+1}=1-\dfrac{2}{4^x+1}.$$由 $f(x_1)+f(x_2)=1$，得$$1-\dfrac{2}{4^{x_1}+1}+1-\dfrac{2}{4^{x_2}+1}=1,$$整理得$$4^{x_1+x_2}=4^{x_1}+4^{x_2}+3,$$从而$$4^{x_1+x_2}=4^{x_1}+4^{x_2}+3\geqslant 2\cdot 4^{ \frac{x_1+x_2}{2}}+3,$$解得 $4^{x_1+x_2}$ 的最小值为 $9$，所以$$f(x_1+x_2)=1-\dfrac 2{4^{x_1+x_2}+1}$$的最小值为 $1-\dfrac2{9+1}=\dfrac45$．
答案
解析
备注
