已知曲线 $C:\lambda x^2+y^2=\lambda,\lambda\in\mathbb R$，且 $\lambda\neq 0$
【难度】
【出处】
无
【标注】
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由曲线 $C$ 上任一点 $E$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足为 $F$，点 $P$ 分 $\overrightarrow{EF}$ 所成的比例为 $1:2$，问：点 $P$ 的轨迹可能是圆吗？请说明理由．标注答案当 $\lambda=\dfrac94$ 时，$P$ 的轨迹为圆解析假设 $P$ 的轨迹为圆，设点 $P(x,y)$，则 $E$ 的坐标为 $\left(x,\dfrac32 y\right)$，于是 $P$ 点的轨迹方程为$$\lambda x^2+\left(\dfrac32y\right)^2=\lambda,$$该方程表示圆意味着$$\lambda=\dfrac94.$$因此当 $\lambda=\dfrac94$ 时，$P$ 的轨迹为圆．
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如果直线 $l$ 的一个方向向量为 $(1,\sqrt2)$，且过点 $M(0,-2)$，直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $A,B$ 两点，又 $|\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}|=\dfrac92$，求曲线 $C$ 的方程．标注答案$x^2-\dfrac{y^2}{14}=1$解析根据题意写出直线 $l$ 的参数方程：$$\begin{cases} x=t,\\
y=-2+\sqrt2\cdot t, \end{cases}$$其中 $t$ 为参数，由于 $A,B$ 均在直线 $l$ 上，设这两个点对应的参数分别为 $t_1,t_2$，则由于$$|\overrightarrow {MA}\cdot\overrightarrow{MB}|=\dfrac92,$$所以$$[1^2+(\sqrt2)^2]|t_1t_2|=\dfrac92.$$所以$$t_1t_2=\pm\dfrac32.$$联立直线参数方程与曲线 $C$ 的方程可得$$(2+\lambda)t^2-4\sqrt2t+4-\lambda=0.$$又由韦达定理$$t_1t_2=\dfrac{4-\lambda}{2+\lambda}=\pm\dfrac32.$$解得$$\left(\lambda_1=\dfrac25\right)\lor\left(\lambda_2=-14\right).$$因为上述关于 $t$ 的一元二次方程有两解，所以判别式为正，即 $\lambda$ 需满足$$\Delta=32-4(2+\lambda)(4-\lambda)>0.$$因此 $\lambda_1$ 不符题设，舍掉，综上 $\lambda=-14$．此时曲线 $C$ 的方程为$$x^2-\dfrac{y^2}{14}=1.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
