题目 已知函数 $f(x)=a{\ln}(1+\mathrm{e}^x)-(a+1)x$ 问题1 若在 $\mathbb R$ 上是减函数，求 $a$ 的取值范围； 答案1 $[-1,+\infty)$ 解析1 当 $a=0$ 时，$f(x)=-x$ 符合题设．<br/>当 $a\neq 0$ 时，对 $f(x)$ 求导可得$$f'(x)=-\dfrac{a}{1+\mathrm{e}^x}-1,$$若 $a>0$，则 $f'(x)<0$ 恒成立，此时 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的减函数，符合题设；<br/>若 $a<0$，则 $f'(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减，且 $f'(x)$ 的取值范围为 $(-1,-a-1)$，因此若要 $f(x)$ 为减函数，则需$$-a-1\leqslant 0,$$因此该种情况下 $a$ 的取值范围为 $-1\leqslant a<0$．<br/>综上所述，$a$ 的取值范围为 $[-1,+\infty)$． 备注1 问题2 若 $a=1$，求证：对任意 $x_1,x_2\in\mathbb R$，$x_1\neq x_2$，都有 $f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$； 答案2 略 解析2 当 $a=1$ 时，$f(x)={\ln}(1+\mathrm{e}^x)-2x$．由于$$\forall x\in\mathbb R,f'(x)=-1-\dfrac1{1+\mathrm{e}^x}<0,$$且 $f'(x)$ 显然单调递增，原题即等价于证明$$\forall x>x_1,\dfrac12[f(x_1)+f(x)]-f\left(\dfrac{x_1+x}{2}\right)>0,x_1\in \mathbb R.$$记上述不等式左侧为 $F(x)$，求导有$$F'(x)=\dfrac12\left[f'(x)-f'\left(\dfrac12(x+x_1)\right)\right],$$由于 $f'(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，因此$$f'(x)>f'\left(\dfrac12(x+x_1)\right),$$所以$$F'(x)>0.$$所以 $F(x)$ 在区间 $(x_1,+\infty)$ 单调递增，所以$$F(x)>F(x_1)=0.$$证毕． 备注2 问题3 若 $a=1$，$\triangle ABC$ 的三个顶点 $A,B,C $ 都在函数 $y=f(x)$ 的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证：$\triangle ABC$ 是钝角三角形，但不可能是等腰三角形． 答案3 略 解析3 结合第二问可知，当 $a=1$ 时，$f(x)$ 为单调递减函数，不妨设 $A,B,C$ 三点的坐标分别为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$，且令 $x_1<x_2<x_3$，则根据函数单调性有$$y_1>y_2>y_3,$$于是$$\begin{split} \overrightarrow {BA}\cdot\overrightarrow {BC}&=(x_1-x_2,y_1-y_2)\cdot(x_3-x_2,y_3-y_2)\\<br/>&=(x_1-x_2)(x_3-x_2)+(y_1-y_2)(y_3-y_2)\\<br/>&<0. \end{split}$$因此 $\triangle ABC$ 中 $\angle B$ 恒为钝角，所以该三角形为钝角三角形．<br/>若该三角形要为等腰三角形，只能是 $BA=BC$，用坐标表示即$$(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2,$$由于 $x_1,x_2,x_3$ 成等差数列，因此$$(x_2-x_1)^2=(x_3-x_2)^2,$$于是$$y_2-y_1=y_3-y_2,$$即$$y_2=\dfrac12(y_1+y_3),$$而这与已知条件中的$$y_2=f\left(\dfrac12(x_1+x_3)\right)<\dfrac{f(x_1)+f(x_3)}2=\dfrac12(y_1+y_3)$$相矛盾．因此该三角形为钝角三角形，且不可能为等腰三角形． 备注3