过点 $P(2,1)$ 作直线 $l$，交 $x$ 轴于点 $A$，交 $y$ 轴于点 $B$，求 $|PA|\cdot|PB|$ 取得最小值时直线 $l$ 的方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$y=x-1$ 或 $y=3-x$
【解析】
设直线的参数方程为$$\begin{cases} x=2+t\cos\theta,\\
y=1+t\sin\theta, \end{cases}\quad\theta\in[0,\pi).$$分别令 $x=0,y=0$，得$$(t_1,t_2)=\left(-\dfrac2{\cos\theta},-\dfrac1{\sin\theta}\right),$$则$$|PA|\cdot|PB|=|t_1|\cdot|t_2|=\dfrac2{|\sin\theta|\cdot|\cos\theta|}=\dfrac4{|\sin 2\theta|}\geqslant 4.$$当 $\theta=\pm\dfrac{\pi}{4}$ 时，上述不等式取得等号，此时对应的直线 $l$ 的方程为 $y=x-1$ 或 $y=3-x$．
y=1+t\sin\theta, \end{cases}\quad\theta\in[0,\pi).$$分别令 $x=0,y=0$，得$$(t_1,t_2)=\left(-\dfrac2{\cos\theta},-\dfrac1{\sin\theta}\right),$$则$$|PA|\cdot|PB|=|t_1|\cdot|t_2|=\dfrac2{|\sin\theta|\cdot|\cos\theta|}=\dfrac4{|\sin 2\theta|}\geqslant 4.$$当 $\theta=\pm\dfrac{\pi}{4}$ 时，上述不等式取得等号，此时对应的直线 $l$ 的方程为 $y=x-1$ 或 $y=3-x$．
答案
解析
备注
