已知点 $A(-1,0)$，$B(2,0)$，求使 $\angle PBA=2\angle PAB$ 成立的点 $P$ 的轨迹方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，则$$\overrightarrow{AP}=(1+x,y),\overrightarrow{AB}=(3,0),\overrightarrow{BA}=(-3,0),\overrightarrow{BP}=(x-2,y).$$从而$$\begin{cases} \cos\angle PAB=\dfrac{\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AB}|}=\dfrac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+y^2}};\\
\cos\angle PBA=\dfrac{\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{BA}|}=\dfrac{2-x}{\sqrt{(x-2)^2+y^2}}. \end{cases} $$由$$\cos\angle PBA=\cos2\angle PAB=2\cos^2\angle PAB-1,$$化简，得：$$[(x-2)^2+y^2-9](3x^2-y^2-3)=0.$$易知 $(x-2)^2+y^2-9=0$ 不是 $P$ 的轨迹方程．所以点 $P$ 的轨迹方程为：$$3x^2-y^2=3,x>1.$$
\cos\angle PBA=\dfrac{\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{BA}|}=\dfrac{2-x}{\sqrt{(x-2)^2+y^2}}. \end{cases} $$由$$\cos\angle PBA=\cos2\angle PAB=2\cos^2\angle PAB-1,$$化简，得：$$[(x-2)^2+y^2-9](3x^2-y^2-3)=0.$$易知 $(x-2)^2+y^2-9=0$ 不是 $P$ 的轨迹方程．所以点 $P$ 的轨迹方程为：$$3x^2-y^2=3,x>1.$$
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