已知 $ m>1 $，直线 $l:x - my - \dfrac{m^2}{2} = 0$，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{m^2} + {y^2} = 1$，${F_{1}}$，${F_2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点．
【难度】
【出处】
2010年高考浙江卷（理）
【标注】
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当直线 $l$ 过右焦点 ${F_2}$ 时，求直线 $l$ 的方程；标注答案略解析因为直线 $l:x - my - \dfrac{m^2}{2} = 0$ 经过 ${F_2}\left(\sqrt {{m^2} - 1} ,0\right)$，
所以\[\sqrt {{m^2} - 1} = \dfrac{m^2}{2},\]得 ${m^2} = 2$，又因为 $m > 1$，所以 $m = \sqrt 2$．故直线 $l$ 的方程为\[x - \sqrt 2 y - 1 = 0.\] -
设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，$\triangle A{F_1}{F_2}$，$\triangle B{F_1}{F_2}$ 的重心分别为 $G$，$H$．若原点 $O$ 在以线段 $GH$ 为直径的圆内，求实数 $m$ 的取值范围．标注答案略解析设 $A\left({x_1},{y_1}\right)$，$B\left({x_2},{y_2}\right)$，由\[{\begin{cases}
x = my + \dfrac{m^2}{2}, \\
\dfrac{x^2}{m^2} + {y^2} = 1 ,\\
\end{cases}}\]消去 $x$ 得\[2{y^2} + my + \dfrac{m^2}{4} - 1 = 0.\]则由\[\Delta = {m^2} - 8\left(\dfrac{m^2}{4} - 1\right) = - {m^2} + 8 > 0\]知 ${m^2} < 8$，且有\[{y_1} + {y_2} = - \dfrac{m}{2},{y_1}{y_2} = \dfrac{m^2}{8} - \dfrac{1}{2}.\]由于 ${F_1}\left( - c,0\right),{F_2}\left(c,0\right)$，故 $ O $ 为 $ F_{1}F_{2} $ 的中点．
由 $\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GO} $，$\overrightarrow {BH} = 2\overrightarrow {HO} $，可知 $G\left(\dfrac{x_1}{3},\dfrac{y_1}{3}\right)$，$H\left(\dfrac{x_2}{3},\dfrac{y_2}{3}\right)$，所以\[|GH{|^2} = \dfrac{{{{\left({x_1} - {x_2}\right)}^2}}}{9} + \dfrac{{{{\left({y_1} - {y_2}\right)}^2}}}{9}.\]设 $ M $ 是 $ GH $ 的中点，则 $M\left(\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{6},\dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{6}\right)$，由题意可知\[2|MO| < |GH|,\]故\[4\left[{\left(\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{6}\right)^2} + {\left(\dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{6}\right)^2}\right] < \dfrac{{{{\left({x_1} - {x_2}\right)}^2}}}{9} + \dfrac{{{{\left({y_1} - {y_2}\right)}^2}}}{9},\]即\[{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} < 0.\]而\[\begin{split}{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} &= \left(m{y_1} + \dfrac{m^2}{2}\right)\left(m{y_2} + \dfrac{m^2}{2}\right) + {y_1}{y_2}\\&= \left({m^2} + 1\right)\left(\dfrac{m^2}{8} - \dfrac{1}{2}\right),\end{split}\]所以 $\dfrac{m^2}{8} - \dfrac{1}{2} < 0$，即 ${m^2} < 4$．
又因为 $m > 1$ 且 $\Delta > 0$，所以 $1 < m < 2$．
所以 $m$ 的取值范围是 $ \left(1,2\right) $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
