略

方法一：取线段 $ EF $ 的中点 $ H $，连接 $A'H$，
因为 $A'E = A'F$ 及 $ H $ 是 $ EF $ 的中点，所以 $A'H \perp EF$．
又因为 $平面 A'EF \perp 平面BEF$，及 $A'H \subset 平面 A'EF$．
所以 $A'H \perp平面 BEF$．
如图建立空间直角坐标系 $A - xyz$． 则 $A'\left(2,2,2\sqrt 2 \right)$，$C\left(10,8,0\right)$，$F\left(4,0,0\right)$，$D\left(10,0,0\right)$，则\[\overrightarrow {FA'} = \left( - 2,2,2\sqrt 2 \right),\overrightarrow {FD} = \left(6,0,0\right).\]设 $\overrightarrow n = \left(x,y,z\right)$ 为 平面 $ A'FD$ 的一个法向量，所以\[{\begin{cases}
- 2x + 2y + 2\sqrt 2 z = 0, \\
6x = 0 ,\\
\end{cases}}\]取 $z = \sqrt 2 $，则\[\overrightarrow n = \left(0, - 2,\sqrt 2 \right),\]又平面 $ BEF $ 的一个法向量 $\overrightarrow m = \left(0,0,1\right)$，则\[\cos \left \langle \overrightarrow n ,\overrightarrow m \right \rangle = \dfrac{\overrightarrow n \cdot \overrightarrow m }{ \left|\overrightarrow n \right | \cdot \left |\overrightarrow m \right|} = \dfrac{\sqrt 3 }{3}.\]所以二面角 $A'-FD-C$ 的余弦值为 $\dfrac{\sqrt 3 }{3}.$
方法二：如图，取线段 $ EF $ 的中点 $ H $，$ AF $ 的中点 $ G $，连接 $A'H$，$ A'G $，$ GH $，因为 $A'E = A'F$ 及 $ H $ 是 $ EF $ 的中点，所以 $A' H\perp EF$．
又因为 $平面 A' EF \perp 平面 BEF$，所以 $A' H\perp 平面 BEF$．
又 $AF \subset 平面 BEF$，所以 $A'H \perp AF$．
又因为 $ G $、$ H $ 分别是 $ AF $、$ EF $ 的中点，
易知 $ GH\parallel AB $，所以 $GH \perp AF$，于是 $AF \perp 面 A' GH$，
所以 $\angle A'GH$ 为二面角 $A'-DF-C$ 的平面角，
在 ${\mathrm{Rt}}\triangle A'GH$ 中，$A'H = 2\sqrt 2 $，$GH = 2$，$A'G = 2\sqrt 3 $，
所以\[\cos \angle A'GH = \dfrac{\sqrt 3 }{3},\]故二面角 $A' -DF-C$ 的余弦值为 $\dfrac{\sqrt 3 }{3}$．

略

方法一：设 $FM = x$，则 $M\left(4 + x,0,0\right)$．
因为翻折后，$ C $ 与 $ A' $ 重合，所以 $CM= A'M$，则\[{\left(6 - x\right)^2} + {8^2} + {0^2} = {\left( - 2 - x\right)^2} + {2^2} + {\left(2\sqrt 2 \right)^2},\]解得\[x = \dfrac{21}{4}.\]经检验，此时点 $ N $ 在线段 $ BC $ 上，
所以 $FM = \dfrac{21}{4}$．
方法二：连接 $MH$，设 $FM = x$，
因为翻折后，$ C $ 与 $A'$ 重合，所以 $CM = A'M$，而\[\begin{split}C{M^2} &= D{C^2} + D{M^2} \\&= {8^2} + {\left(6 - x\right)^2},\\A'{M^2} &= A'{H^2} + M{H^2} \\&= A'{H^2} + M{G^2} + G{H^2} \\&= {\left(2\sqrt 2 \right)^2} + {\left(x + 2\right)^2} + {2^2},\end{split}\]解得\[x = \dfrac{21}{4}.\]经检验，此时点 $ N $ 在线段 $ BC $ 上，
所以 $FM = \dfrac{21}{4}$．