如图，一个小球从 $ M $ 处投入，通过管道自上而下落到 $ A $ 或 $ B $ 或 $ C $．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 $ A $、$ B $、$ C $，则分别设为 $ 1、2、3 $ 等奖．
【难度】
【出处】
2010年高考浙江卷（理）
【标注】
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已知获得 $ 1,2,3 $ 等奖的折扣率分别为 $ 50\% $、$ 70\% $、$ 90\% $．记随变量 $\xi $ 为获得 $ k\left(k=1,2,3\right) $ 等奖的折扣率，求随机变量 $\xi $ 的分布列及期望 $E\xi $；标注答案$\xi$ 的分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\xi&50\%&70\%&90\%\\ \hline
P&\dfrac3{16}&\dfrac38&\dfrac7{16}\\ \hline
\end{array} \]期望 $E\xi=\dfrac34$解析先找到小球落入各位置的路径，再计算相应路径的概率即可，需弄清题意．由题意，小球落入 $A $ 的概率为\[\left(\dfrac 12\right)^3+\left( \dfrac 12\right)^4= \dfrac3{16},\]即 $ P\left(\xi =50\%\right)=\dfrac3{16} $．
同理可得 $ P\left(\xi =70\%\right)=\dfrac3{8} $，$ P\left(\xi =90\%\right)=\dfrac7{16} $．
所以 $\xi$ 的分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\xi&50\%&70\%&90\%\\ \hline
P&\dfrac3{16}&\dfrac38&\dfrac7{16}\\ \hline
\end{array} \]则\[E\xi=\dfrac3{16}\times50\%+\dfrac38\times70\%+\dfrac7{16}\times90\%=\dfrac34.\] -
若有 $ 3 $ 人次（投入 $ 1 $ 球为 $ 1 $ 人次）参加促销活动，记随机变量 $\eta $ 为获得 $ 1 $ 等奖或 $ 2 $ 等奖的人次，求 $P\left(\eta = 2\right)$．标注答案$P\left(\eta=2\right)=\dfrac{1701}{4096}$解析随机变量 $\eta $ 服从二项分布．由（1）知，获得 $ 1 $ 等奖或 $ 2 $ 等奖的概率为\[\dfrac3{16}+\dfrac38=\dfrac9{16}.\]由题意得 $\eta～B\left(3,\dfrac9{16}\right)$，则\[P\left(\eta=2\right)={\mathrm{C}}_3^2\left(\dfrac9{16}\right)^2\left(1-\dfrac9{16}\right)=\dfrac{1701}{4096}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
