密码员王超设计了一种给自然数编码的方法．
（1）先将自然数表示成五进制数（逢五进一）；
（2）再将五进制中的 $5$ 个数码与集合 $\{V,W,X,Y,Z\}$ 中的元素建立一个一一对应关系．
后来，他发现三个递增的相邻的十进制自然数被编成 $VYZ,VYX,VVW$．求被编成 $VWXYZ$ 的数所对应的十进制数．
（1）先将自然数表示成五进制数（逢五进一）；
（2）再将五进制中的 $5$ 个数码与集合 $\{V,W,X,Y,Z\}$ 中的元素建立一个一一对应关系．
后来，他发现三个递增的相邻的十进制自然数被编成 $VYZ,VYX,VVW$．求被编成 $VWXYZ$ 的数所对应的十进制数．
【难度】
【出处】
2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$1358$
【解析】
根据题意可知$$V,W,X,Y,Z\in\{0,1,2,3,4\}.$$由三个递增的相邻的十进制数被编成 $VYZ,VYX,VVW$ 可得$$\begin{cases}25V+5Y+Z=25V+5Y+X-1,\\ 25V+5Y+X=25V+5V+W-1.\end{cases}$$即$$\begin{cases}Z=X-1,\\ 5(V-Y)=X-W+1.\end{cases}$$因为被编成 $VYX,VVW$ 的自然数递增，所以$$V>Y.$$所以 $X-W+1$ 能被 $5$ 整除且 $X-W>0$，所以$$X-W+1=5,V-Y=1.$$即$$X=4+W\geqslant 4,$$又因为 $X\leqslant 4$，所以$$X=4.$$进而可得$$W=0,Z=3,V=2,Y=1.$$所以 $VWXYZ$ 所对应的十进制数是$$2\cdot 5^4+0\cdot 5^3+4\cdot 5^2+1\cdot 5+3=1358.$$
答案
解析
备注
