题目 已知函数 $f(x)=\dfrac{x^2+kx+1}{x^2+x+1}$． 问题1 当 $k=2$ 时，求 $f(x)$ 的值域； 答案1 $\left[0,\dfrac 43\right]$ 解析1 当 $k=2$ 时，函数 $f(x)$ 可化为\[\begin{split}f(x)&=1+\dfrac x{x^2+x+1}.\end{split}\]当 $x=0$ 时，$f(x)=1$；<br/>当 $x\ne 0$ 时，$$f(x)=1+\dfrac 1{x+\dfrac 1x+1}.$$由 $x+\dfrac 1x\geqslant 2$ 或 $x+\dfrac 1x \leqslant -2$ 可得$$1<f(x)\leqslant \dfrac 43\lor 0\leqslant f(x)<1.$$综上，$f(x)$ 的值域为 $\left[0,\dfrac 43\right]$． 备注1 问题2 若存在实数 $a,b,c$，使 $f(a)+f(b)<f(c)$，求实数 $k$ 的取值范围． 答案2 $\left(-\infty,\dfrac 25\right)\cup\left(\dfrac{10}{7},+\infty\right)$ 解析2 题目即$$2f(x)_{\min}<f(x)_{\max}.$$因为$$f(x)=1+\dfrac{(k-1)x}{x^2+x+1}.$$当 $x=0$ 时，$f(x)=1$，不符合题意．<br/>当 $x\ne 0$ 时，$$f(x)=1+\dfrac{k-1}{x+\dfrac 1x+1}.$$若 $k=1$，则 $f(x)=1$，不符合题意．<br/>若 $k>1$，由 $x+\dfrac 1x\geqslant 2$ 或 $x+\dfrac 1x \leqslant -2$ 可得$$1<f(x)\leqslant \dfrac{k+2}{3}\lor 2-k\leqslant f(x)<1.$$所以$$2(2-k)<\dfrac{k+2}{3},$$解得$$k>\dfrac{10}{7}.$$若 $k<1$，同理可得$$\dfrac{k+2}{3}\leqslant f(x)<1\lor 2-k\geqslant f(x)>1.$$所以$$2\cdot \dfrac{k+2}{3}<2-k,$$解得$$k<\dfrac 25.$$综上，$k$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 25\right)\cup\left(\dfrac{10}{7},+\infty\right)$． 备注2