如图所示，在凸四边形 $ABCD$ 中，$AB=5$，$BC=CD=DA=2$，$\angle A=\theta$．
【难度】
【出处】
2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
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求 $BD$ 的长（用 $\theta$ 表示）；标注答案$\sqrt{29-20\cos \theta}$解析$\sqrt{29-20\cos \theta}$
作 $DE\perp AB$ 于 $E$，则$$DE=2\sin \theta,AE=2\cos \theta ,BE=5-2\cos \theta,$$所以\[\begin{split}BD=&\sqrt{DE^2+EB^2}\\&=\sqrt{4\sin^2\theta +25-20\cos \theta +4\cos ^2 \theta}\\&=\sqrt{29-20\cos \theta}.\end{split}\] -
设 $\triangle{ABD}$ 的面积为 $S_1$，$\triangle{BCD}$ 的面积为 $S_2$，$f(\theta)=S_1^2+S_2^2$，求函数 $f(\theta)$ 的值域．标注答案$\left(\dfrac{231}{32},\dfrac{231}{16}\right)$解析$\left(\dfrac{231}{32},\dfrac{231}{16}\right)$
取 $BD$ 中点 $M$，连接 $CM$，由 $DC=CB$ 可得$$CM\perp BD.$$因此\[\begin{split}CM^2&=DC^2-DM^2\\&=5\cos \theta -\dfrac{13}{4},\end{split}\]所以$$S_2^2=\left(\dfrac 12 BD\cdot CM\right)^2=-25\cos ^2\theta +\dfrac{105}{2}\cos \theta -\dfrac{377}{16},$$而$$S_1=\dfrac 12 AB\cdot DE=5\sin \theta,$$所以\[\begin{split}f(\theta)&=S_1^2+S_2^2\\&=-50\left(\cos \theta-\dfrac{21}{40}\right)^2+\dfrac{487}{32}.\end{split}\]当 $D,C,B$ 共线时，由余弦定理可得$$\cos \theta =\dfrac{13}{20},$$当 $A,D,C$ 共线时，可得$$\cos \theta=\dfrac{37}{40}.$$而 $ABCD$ 为凸四边形，所以$$\dfrac{13}{20}<\cos \theta <\dfrac{37}{40}.$$进而可得 $f(\theta)$ 的值域为 $\left(\dfrac{231}{32},\dfrac{231}{16}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
