设 $f\left(x\right)=2\sqrt 3\sin\left({\mathrm \pi} -x\right)\sin x-\left(\sin x-\cos x\right)^{2}$．
【难度】
【出处】
2016年高考山东卷（文）
【标注】
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求 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间；标注答案$f\left(x\right)$ 的单调递增区间是 $\left[k{\mathrm \pi} -\dfrac{\mathrm \pi} {12},k{\mathrm \pi} +\dfrac{5{\mathrm \pi} }{12}\right]\left(k\in\mathbb Z\right)$解析由题意可得\[\begin{split}f\left(x\right)&=2\sqrt 3\sin\left({\mathrm \pi} -x\right)\sin x-\left(\sin x-\cos x\right)^{2}\\&=2\sqrt 3\sin^{2}x-\left(1-2\sin x\cos x\right)\\&=\sqrt 3\left(1-\cos 2x\right)+\sin 2x -1\\&=\sin 2x-\sqrt 3\cos 2x+\sqrt 3-1\\&=2\sin\left(2x-\dfrac{\mathrm \pi} {3}\right)+\sqrt 3-1.\end{split}\]由\[2k{\mathrm \pi} -\dfrac{\mathrm \pi} {2}\leqslant 2x-\dfrac{\mathrm \pi} {3}\leqslant 2k{\mathrm \pi} +\dfrac{\mathrm \pi} {2}\left(k\in\mathbb Z\right),\]得\[k{\mathrm \pi} -\dfrac{\mathrm \pi} {12}\leqslant x\leqslant k{\mathrm \pi} +\dfrac{5{\mathrm \pi} }{12}\left(k\in\mathbb Z\right),\]所以 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间是 $\left[k{\mathrm \pi} -\dfrac{\mathrm \pi} {12},k{\mathrm \pi} +\dfrac{5{\mathrm \pi} }{12}\right]\left(k\in\mathbb Z\right)$（或 $\left(k{\mathrm \pi} -\dfrac{\mathrm \pi} {12},k{\mathrm \pi} +\dfrac{5{\mathrm \pi} }{12}\right)\left(k\in\mathbb Z\right)$）．
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把 $y=f\left(x\right)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 $\dfrac{\mathrm \pi} {3}$ 个单位，得到函数 $y=g\left(x\right)$ 的图象，求 $g\left(\dfrac{\mathrm \pi} {6}\right)$ 的值．标注答案$ \sqrt 3 $解析由（1）知 $f\left(x\right)=2\sin\left(2x-\dfrac{\mathrm \pi} {3}\right)+\sqrt 3-1$，把 $y=f\left(x\right)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），得到\[y=2\sin\left(x-\dfrac{\mathrm \pi} {3}\right)+\sqrt 3-1\]的图象，再把得到的图象向左平移 $\dfrac{\mathrm \pi} {3}$ 个单位，得到\[y=2\sin x+\sqrt 3-1\]的图象，即\[g\left(x\right)=2\sin x+\sqrt 3-1.\]所以 $g\left(\dfrac{\mathrm \pi} {6}\right)=2\sin\dfrac{\mathrm \pi} {6}+\sqrt 3-1=\sqrt 3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
