已知 $x,y$ 满足 $\begin{cases}\sin x + \sin y = \dfrac{1}{3},\\ \cos x - \cos y = \dfrac{1}{5}, \end{cases}$ 求 $\cos \left( {x + y} \right)$ 与 $\sin \left( {x - y} \right)$ 的值．
【难度】
【出处】
2013年清华大学等多校联考自主选拔考试
【标注】
【答案】
$\cos \left( {x + y} \right) = \dfrac{{208}}{{225}}$，$\sin \left( {x - y} \right) = - \dfrac{{15}}{{17}}$
【解析】
两式平方相加得$${\sin ^2}x + {\sin ^2}y + 2\sin x\sin y + {\cos ^2}x + {\cos ^2}y - 2\cos x\cos y = \dfrac{{34}}{{225}},$$整理得 $2 - 2\cos \left( {x + y} \right) = \dfrac{{34}}{{225}}$，即$$\cos \left( {x + y} \right) = \dfrac{{208}}{{225}},$$两式和差化积后相除得$$\tan \dfrac{{x - y}}{2} = - \dfrac{3}{5},$$因此，利用万能公式，得$$\sin \left( {x - y} \right) = \dfrac{{2\tan \dfrac{{x - y}}{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\dfrac{{x - y}}{2}}} = - \dfrac{{15}}{{17}}.$$
答案
解析
备注
