数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac32$，$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$，$n\in\mathbb N^\ast$，求：$m=\dfrac 1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\cdots+\dfrac1{a_{2005}}$ 的整数部分．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
由 $a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$ 得$$a_{n+1}-1=a_n(a_n-1),$$所以$$\dfrac 1{a_n}=\dfrac1{a_n-1}-\dfrac{1}{a_{n+1}-1},$$所以$$m=\sum_{k=1}^{2005}\dfrac1{a_n}=\dfrac1{a_1-1}-\dfrac1{a_{2006}-1},$$又因为$$\forall n\in\mathbb N^\ast,a_{n+1}=a_n^2-a_n+1> a_n.$$所以数列 $\{a_n\}$ 递增，易得 $a_2=\dfrac74$，$a_3=\dfrac{37}{16}>2$，所以 $a_{2006}>a_3>2$，从而$$0<\dfrac1{a_{2006}-1},$$因此$$m=2-\dfrac1{a_{2006}-1}\in(1,2),$$因此 $m$ 的整数部分为 $1$．
答案
解析
备注
