已知 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a,\overrightarrow {OB}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=2$，当 $\triangle AOB$ 面积最大时，求 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\pi}{3}$
【解析】
由 $|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=2$ 平方可得$$\overrightarrow a^2+\overrightarrow b^2-2\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=4,$$又 $\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=4$，所以$$\overrightarrow a^2+\overrightarrow b^2=8.$$所以$$|\overrightarrow a||\overrightarrow b|\leqslant \dfrac{\overrightarrow a^2+\overrightarrow b^2}{2}=4,$$当 $|\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|=2$ 时等号成立．于是 $\triangle AOB$ 的面积$$\begin{split} S&=\dfrac12|\overrightarrow a||\overrightarrow b|\sin\theta\\
&=\dfrac12\sqrt{\left(|\overrightarrow a||\overrightarrow b|\right)^2-\left(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b\right)^2}\\
&\leqslant \sqrt3.\end{split}$$即 $\triangle AOB$ 的面积最大值为 $\sqrt3$，此时 $\cos\theta=\dfrac12$，也即 $\theta=\dfrac{\pi}{3}$．
&=\dfrac12\sqrt{\left(|\overrightarrow a||\overrightarrow b|\right)^2-\left(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b\right)^2}\\
&\leqslant \sqrt3.\end{split}$$即 $\triangle AOB$ 的面积最大值为 $\sqrt3$，此时 $\cos\theta=\dfrac12$，也即 $\theta=\dfrac{\pi}{3}$．
答案
解析
备注
