已知 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a,\overrightarrow {OB}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=2$，当 $\triangle AOB$ 面积最大时，求 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\pi}{3}$
【解析】
设 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 夹角为 $\theta$，根据已知条件有$$\begin{cases} |\overrightarrow a||\overrightarrow b|\cos\theta=2,\\
|\overrightarrow a|^2+|\overrightarrow b|^2-2|\overrightarrow a|\overrightarrow b|\cos\theta=4,\end{cases}$$所以$$|\overrightarrow a|^2+|\overrightarrow b|^2=8,$$又$$\begin{split} 4S^2+4&=(|\overrightarrow a||\overrightarrow b|\sin\theta)^2+(|\overrightarrow a||\overrightarrow b|\cos\theta)^2\\
&=|\overrightarrow a|^2|\overrightarrow b|^2\\
&\leqslant \left(\dfrac{|\overrightarrow a|^2+|\overrightarrow b|^2}{2}\right)^2\\
&=16.\end{split}$$当且仅当 $|\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|=2$ 时，等号成立．即 $S$ 最大时，$\cos\theta=\dfrac12$，即 $\theta=\dfrac{\pi}{3}$．
|\overrightarrow a|^2+|\overrightarrow b|^2-2|\overrightarrow a|\overrightarrow b|\cos\theta=4,\end{cases}$$所以$$|\overrightarrow a|^2+|\overrightarrow b|^2=8,$$又$$\begin{split} 4S^2+4&=(|\overrightarrow a||\overrightarrow b|\sin\theta)^2+(|\overrightarrow a||\overrightarrow b|\cos\theta)^2\\
&=|\overrightarrow a|^2|\overrightarrow b|^2\\
&\leqslant \left(\dfrac{|\overrightarrow a|^2+|\overrightarrow b|^2}{2}\right)^2\\
&=16.\end{split}$$当且仅当 $|\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|=2$ 时，等号成立．即 $S$ 最大时，$\cos\theta=\dfrac12$，即 $\theta=\dfrac{\pi}{3}$．
答案
解析
备注
