已知 $f(x)=x^2+2x+a{\ln}x$，当 $x\geqslant 1$ 时，不等式 $f(2x-1)\geqslant 2f(x)-3$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty,2]$
【解析】
由题意得：$$\forall x\in[1,+\infty),2(x^2-2x+1)\geqslant a[{\ln}x^2-{\ln}(2x-1)],$$令$$g(x)=2(x^2-2x+1)-a[{\ln}x^2-{\ln}(2x-1)],$$则 $g(1)=0$，且$$g'(x)=\dfrac{2(x-1)(4x^2-2x-a)}{x(2x-1)},$$当 $x>1$ 时，$\dfrac{2(x-1)}{x(2x-1)}>0$，又由二次函数的单调性可知$$y=4x^2-2x-a,$$在区间 $[1,+\infty)$ 上先负后正，或者恒非负．若是先负后正，则 $g(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上先减后增，而 $g(1)=0$，不满足 $g(x)\geqslant 0$ 在 $[1,+\infty)$ 上恒成立；所以 $y=4x^2-2x-a$ 在 $[1,+\infty)$ 上恒非负，即 $a\leqslant 2$．
答案
解析
备注
