已知 $0<x<\dfrac{\pi}{2}$，求 $M=\dfrac{225}{4\sin^2x}+\dfrac2{\cos x}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$68$
【解析】
$$\begin{split} M&=\dfrac{225}{4\sin^2x}+\dfrac2{\cos x}\\
&=\dfrac{15}{4\sin^2x}+\cdots+\dfrac{15}{4\sin^2x}+\dfrac{1}{\cos x}+\dfrac 1{\cos x}\\
&\geqslant 17\cdot\sqrt[17]{\left(\dfrac{15}{4}\right)^{15}\dfrac{1}{(\sin^2x)^{15}\cos^2 x}}\\
&=17\cdot\sqrt[17]{\left(\dfrac{15}{4}\right)^{15}\cdot\dfrac{15}{\sin^2x\cdot\sin^2x\cdots \sin^2x\cdot 15\cos^2x}}\\
&\geqslant 17\cdot\sqrt[17]{\left(\dfrac{15}{4}\right)^{15}\cdot\dfrac{15}{\left(\dfrac{15\sin^2x+15\cos^2x}{16}\right)^{16}}}\\
&=68. \end{split}$$
&=\dfrac{15}{4\sin^2x}+\cdots+\dfrac{15}{4\sin^2x}+\dfrac{1}{\cos x}+\dfrac 1{\cos x}\\
&\geqslant 17\cdot\sqrt[17]{\left(\dfrac{15}{4}\right)^{15}\dfrac{1}{(\sin^2x)^{15}\cos^2 x}}\\
&=17\cdot\sqrt[17]{\left(\dfrac{15}{4}\right)^{15}\cdot\dfrac{15}{\sin^2x\cdot\sin^2x\cdots \sin^2x\cdot 15\cos^2x}}\\
&\geqslant 17\cdot\sqrt[17]{\left(\dfrac{15}{4}\right)^{15}\cdot\dfrac{15}{\left(\dfrac{15\sin^2x+15\cos^2x}{16}\right)^{16}}}\\
&=68. \end{split}$$
答案
解析
备注
