已知 $0<x<\dfrac{\pi}{2}$，求 $M=\dfrac{225}{4\sin^2x}+\dfrac2{\cos x}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$68$
【解析】
记 $k>0$，则$$\begin{split} M&=\dfrac{225}{4\sin^2x}+\dfrac2{\cos x}\\
&=\dfrac{225}{4\sin^2x}+k\sin^2x+\dfrac1{\cos x}+\dfrac1{\cos x}+k\cos^2x-k\\
&\geqslant 15\sqrt k+3\sqrt[3]{k}-k,\end{split}$$当$$\left(\dfrac{225}{4\sin^2x}=k\sin^2x\right)\land\left(\dfrac1{\cos x}=k\cos^2x\right),$$即$$\dfrac{15}{2\sqrt{k}}+\dfrac1{\sqrt[3]{k^2}}=1,$$也即 $k=64$ 时，上述不等式取得等号，$M$ 取得最小值$$15\sqrt k+3\sqrt[3]{k}-k=68.$$
&=\dfrac{225}{4\sin^2x}+k\sin^2x+\dfrac1{\cos x}+\dfrac1{\cos x}+k\cos^2x-k\\
&\geqslant 15\sqrt k+3\sqrt[3]{k}-k,\end{split}$$当$$\left(\dfrac{225}{4\sin^2x}=k\sin^2x\right)\land\left(\dfrac1{\cos x}=k\cos^2x\right),$$即$$\dfrac{15}{2\sqrt{k}}+\dfrac1{\sqrt[3]{k^2}}=1,$$也即 $k=64$ 时，上述不等式取得等号，$M$ 取得最小值$$15\sqrt k+3\sqrt[3]{k}-k=68.$$
答案
解析
备注
