若 $n\in\mathbb N^\ast$，求证：$\dfrac{2^{2n}}{2n}\leqslant \mathrm{C}_{2n}^n<2^{2n}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
先证右边：$$2^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}\mathrm{C}_{2n}^k>\mathrm{C}_{2n}^k.$$再证左边：$$\begin{split} 2^{2n}&=\sum_{k=0}^{2n}\mathrm{C}_{2n}^k\\
&=(\mathrm{C}_{2n}^0+\mathrm{C}_{2n}^{2n})+\sum_{k=1}^{2n-1}\mathrm{C}_{2n}^k\\
&= 2+\sum_{k=1}^{2n-1}\mathrm{C}_{2n}^k\\
&\leqslant 2n\cdot\mathrm{C}_{2n}^n,\end{split}$$综上，原不等式链得证．
&=(\mathrm{C}_{2n}^0+\mathrm{C}_{2n}^{2n})+\sum_{k=1}^{2n-1}\mathrm{C}_{2n}^k\\
&= 2+\sum_{k=1}^{2n-1}\mathrm{C}_{2n}^k\\
&\leqslant 2n\cdot\mathrm{C}_{2n}^n,\end{split}$$综上，原不等式链得证．
答案
解析
备注
