题目 已知 $f(x)=ax^2+bx$（$a \neq 0$，$b \in \mathbb R$），且 $y=f(x+1)$ 为偶函数，方程 $f(x)=x$ 有两个相等的实根． 问题1 求函数 $f(x)$ 的解析式； 答案1 $f(x)=-\dfrac {1}{2}x^2+x$ 解析1 因为 $y=f(x+1)$ 为偶函数，所以$$f(-x+1)=f(x+1),$$即$$a(-x+1)^2+b(-x+1)=a(x+1)^2+b(x+1),$$得$$ 4a+2b =0.$$又因为方程 $f(x)=x$ 有两个相等的实根，所以方程 $ ax^2+(b-1)x=0 $ 的判别式$$\Delta =(b-1)^2=0.$$所以$$(a,b)=\left(-\dfrac 12,1\right).$$所以函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=-\dfrac {1}{2}x^2+x$． 备注1 问题2 是否存在区间 $[m,n]$（$m<n$），使得 $f(x)$ 在区间 $[m,n]$ 上的值域为 $[3m,3n]$？若存在，求出 $m$，$n$ 的值；若不存在，请说明理由． 答案2 存在区间 $[m,n]$ 满足题意，且 $m,n$ 的值分别为 $-4,0$ 解析2 因为函数 $f(x)$ 的值域为 $\left(-\infty,\dfrac 12\right]$，所以 $3n \leqslant \dfrac 12$，得 $n\leqslant \dfrac 16 $．又因为 $f(x)$ 的对称轴方程 $x=1>n$，所以可得函数 $f(x)$ 在区间 $[m,n]$ 单调递增，所以$$\begin{cases}f(m)=3m,\\ f(n)=3n,\\ m<n.\end{cases}$$所以 $m,n$ 是方程 $-\dfrac {1}{2}x^2+x=3x$ 的两个根，且 $m<n$，解得$$(m,n)=(-4,0).$$ 备注2