已知正数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 和通项 $a_n$ 之间满足：$S_n\cdot a_n=\dfrac1{4^n}$，则数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a_n=\dfrac{\tan\dfrac{\pi}{2^{n+1}}}{2^n}$
【解析】
易知 $a_1=\dfrac12$，由于$$S_n=\dfrac{1}{4^n\cdot a_n},n\in\mathbb N^\ast.$$所以 $n\geqslant 2$ 时$$a_n=S_{n}-S_{n-1}=\dfrac1{4^n\cdot a_n}-\dfrac1{4^{n-1}\cdot a_{n-1}},$$所以$$a_{n-1}=\dfrac{4a_n}{1-4^n\cdot a_n^2},$$即$$2^{n-1}a_{n-1}=\dfrac{2\cdot 2^na_n}{1-(2^n\cdot a_n)^2},$$若设 $b_n=2^na_n$，则$$b_{n-1}=\dfrac{2b_n}{1-b_n^2},$$再令 $b_n=\tan\theta_{n},\theta_n\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，则$$b_{n-1}=\tan2\theta_{n}=\tan\theta_{n-1},$$所以 $\theta_n=\dfrac12\theta_{n-1}$，因此$$\theta_n=\dfrac{\pi}{2^{n+1}},n\in\mathbb N^\ast.$$故$$a_n=\dfrac{\tan\dfrac{\pi}{2^{n+1}}}{2^n},n\in\mathbb N^\ast.$$
答案
解析
备注
