设 $f(x)={\log_a}g(x)$（$a>0$，$a \neq 1$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $f(x)={\log_{\frac 12}} (3x-1)$，且满足 $f(x)>1$，求 $x$ 的取值范围；标注答案$\left(\dfrac 13,\dfrac 12\right)$解析题中不等式即 ${\log_{\frac 12}} (3x-1)>{\log_{\frac 12}} \dfrac 12,$ 亦即$$\begin{cases}3x-1>0,\\ 3x-1<\dfrac 12,\end{cases}$$解得 $\dfrac 13<x <\dfrac 12$，所以 $x$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 13,\dfrac 12\right)$．
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若 $g(x)=ax^2-x$，是否存在 $a$ 使得 $f(x)$ 在区间 $\left[ \dfrac 12,3\right]$ 上是增函数？如果存在，说明 $a$ 可以取哪些值；如果不存在，请说明理由．标注答案存在 $a>2$ 满足 $f(x)$ 在区间 $\left[ \dfrac 12,3\right]$ 上是增函数解析
情形一 当 $a>1$ 时，$$\begin{cases} \dfrac {1}{2a}\leqslant \dfrac 12,\\ g\left(\dfrac 12\right)>0,\end{cases}$$解得 $a>2$；情形二 当 $0<a< 1$ 时，$$\begin{cases} \dfrac {1}{2a}\geqslant 3,\\ g\left(3\right)>0,\end{cases}$$无解．
综上，存在 $a>2$ 满足 $f(x)$ 在区间 $\left[ \dfrac 12,3\right]$ 上是增函数． -
定义在 $[p,q]$ 上的一个函数 $m(x)$，用分法 $T$：$$p=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{i-1}<x_i<\cdots<x_n=q.$$将区间 $[p,q]$ 任意划分成 $n$ 个小区间，如果存在一个常数 $M>0$，使得不等式$$|m(x_1)-m(x_0)|+|m(x_2)-m(x_1)|+\cdots+|m(x_{i})-m(x_{i-1})|+\cdots +|m(x_{n})-m(x_{n-1})| \leqslant M$$恒成立，则称函数 $m(x)$ 为在 $[p,q]$ 上的有界变差函数．试判断函数 $f(x)={\log_4}(4x^2-x)$ 是否为在 $\left[\dfrac 12,3\right]$ 上的有界变差函数？若是，求 $M$ 的最小值；若不是，请说明理由．标注答案函数 $f(x)={\log_4}(4x^2-x)$ 是在 $\left[\dfrac 12,3\right]$ 上的有界变差函数，$M$ 的最小值为 ${\log_{4}}66$解析由（2）知当 $a =4$ 时函数为 $\left[ \dfrac 12,3\right]$ 上的单调递增函数，且对任意划分$$T:\dfrac 12=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{i-1}<x_i<\cdots<x_n=3,$$都有$$f\left(\dfrac 12\right)=f(x_0)<f(x_1)<f(x_2)<\cdots <f(x_{i-1})<f(x_i)<\cdots<f(x_n)=f(3),$$所以$$M\geqslant \sum_{i=1}^{n}|f(x_i)-f(x_{i-1})| =f(3)-f\left(\dfrac 12\right)={\log_{4}}66.$$所以函数 $f(x)={\log_4}(4x^2-x)$ 是在 $\left[\dfrac 12,3\right]$ 上的有界变差函数，$M$ 的最小值为 ${\log_{4}}66$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
