已知 $a,b,c>0$，且 $abc=\dfrac 14$，求证：$(b+1)(c+1)(a+b)(a+c)>4$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[bc=\dfrac{1}{4a},\]于是\[\begin{split}
LHS&=[bc+(b+c)+1]\cdot [a^2+a(b+c)+bc]\\
&\geqslant \left(\dfrac{1}{4a}+2\cdot \sqrt{\dfrac{1}{4a}}+1\right)\cdot \left(a^2+a\cdot 2\cdot \sqrt{\dfrac{1}{4a}}+\dfrac{1}{4a}\right)\\
&=\left[\left(\dfrac{1}{2\sqrt a}+1\right)\cdot \left(a+\dfrac{1}{2\sqrt a}\right)\right]^2\\
&=\left(a+\dfrac{1}{4a}+\dfrac{\sqrt a}2+\dfrac{1}{2\sqrt a}\right)^2,\end{split}\]考虑到\[a+\dfrac{1}{4a}\geqslant 1,\]等号当且仅当 $a=\dfrac 12$ 时取得，且\[\dfrac{\sqrt a}2+\dfrac{1}{2\sqrt a}\geqslant 1,\]等号当且仅当 $a=1$ 时取得，因此有\[a+\dfrac{1}{4a}+\dfrac{\sqrt a}2+\dfrac{1}{2\sqrt a}>2,\]原命题得证．
LHS&=[bc+(b+c)+1]\cdot [a^2+a(b+c)+bc]\\
&\geqslant \left(\dfrac{1}{4a}+2\cdot \sqrt{\dfrac{1}{4a}}+1\right)\cdot \left(a^2+a\cdot 2\cdot \sqrt{\dfrac{1}{4a}}+\dfrac{1}{4a}\right)\\
&=\left[\left(\dfrac{1}{2\sqrt a}+1\right)\cdot \left(a+\dfrac{1}{2\sqrt a}\right)\right]^2\\
&=\left(a+\dfrac{1}{4a}+\dfrac{\sqrt a}2+\dfrac{1}{2\sqrt a}\right)^2,\end{split}\]考虑到\[a+\dfrac{1}{4a}\geqslant 1,\]等号当且仅当 $a=\dfrac 12$ 时取得，且\[\dfrac{\sqrt a}2+\dfrac{1}{2\sqrt a}\geqslant 1,\]等号当且仅当 $a=1$ 时取得，因此有\[a+\dfrac{1}{4a}+\dfrac{\sqrt a}2+\dfrac{1}{2\sqrt a}>2,\]原命题得证．
答案
解析
备注
