已知正四棱锥 $S-ABCD$ 的底面边长为 $a$，侧面三角形的顶角为 $30^\circ$．
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
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求正四棱锥 $S-ABCD$ 的相邻两侧面所成的二面角的大小；标注答案略解析如图，设相邻侧面 $ASD$ 和 $CSD$ 所成的二面角为 $\varphi$．根据三射线定理，得$$\cos\angle ADC=\cos\angle ADS\cdot\cos\angle CDS+\sin\angle ADS\cdot\sin\angle CDS\cdot\cos\angle\varphi,$$由题知$$\angle ADC=\dfrac{\pi}{2},\angle ADS=\angle CDS=\dfrac{5\pi}{12},$$代入整理，得$$\cos\varphi=-\dfrac{\cos^2\angle ADS}{\sin^2\angle ADS}=4\sqrt3-7,$$因此正四棱锥相邻两侧面所成的二面角为 $\pi-\arccos\left(7-4\sqrt3\right)$．
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一个动点从侧棱 $SA$ 的中点 $M$ 出发，陆续穿过四个侧面（不经过顶点）又回到 $M$ 点，求这个动点经过的路程的最小值．标注答案略解析将正四棱锥 $S-ABCD$ 沿 $SA$ 拆开，如图．由题可知$$\angle ASA'=120^\circ,$$动点经过的路程的最小值为 $MM'$，其中 $M'$ 为 $SA'$ 的中点，在 $\triangle SAB$ 中，$$SA=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}a,$$在 $\triangle SMM'$ 中，$$MM'=\sqrt3SM=\dfrac{\sqrt3}{2}SA=\dfrac{3\sqrt2+\sqrt6}{4}a.$$因此动点经过的路程的最小值为 $\dfrac{3\sqrt2+\sqrt6}{4}a$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
