已知函数 $f(x)=-\dfrac12x^3+\dfrac32x$，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=b\in(0,1)$，$a_{n+1}=f(a_n)$，$n\in\mathbb N^{\ast}$．
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
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试判定数列 $\{a_n\}$ 的单调性，并证明你的结论；标注答案略解析数列 $\{a_n\}$ 单调递增，证明如下：
函数 $f(x)$ 的导函数为$$f'(x)=\dfrac32\left(1-x^2\right),$$当 $x\in(0,1)$ 时，$f(x)$ 单调递增，注意到$$f(0)=0,f(1)=1,$$因此，当 $x\in(0,1)$ 时，函数 $f(x)$ 单调递增，且 $f(x)\in(0,1)$，由题有$$a_{n+1}-a_n=\dfrac12a_n\left(1-a_n^2\right)>0,$$故数列 $\{a_n\}$ 单调递增． -
是否存在正实数 $c$，使得 $0<\dfrac{a_n+c}{a_n-c}<2$ 对一切 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 恒成立？若存在，求出 $c$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．标注答案略解析题中不等式即$$\left(3c-a_n\right)\left(c+a_n\right)<0,$$整理得$$-a_n<c<\dfrac{a_n}{3},$$由（1）结合 $c>0$，得实数 $c$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{b}{3}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
