题目 已知函数 $f(x)={\rm e}^{2x}\left(ax^2+2x-1\right)$，$a\in \mathbb R$． 问题1 若函数 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,-2]$ 上单调递增，求实数 $a$ 取值范围． 答案1 $[2,+\infty)$ 解析1 根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2{\rm e}^{2x}\cdot x(ax+a+2),\]于是由函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,-2]$ 上单调递增可得\[\begin{cases} a>0,\\ -\dfrac{2+a}a\geqslant-2,\end{cases}\]解得 $a$ 的取值范围是 $[2,+\infty)$． 备注1 对 $f(x)$ 求导得，$$f'(x)=2x(ax+2+a){\rm e}^{2x}.$$由题意可知，$f'(x)\geqslant 0$ 在 $(-\infty,-2]$ 上恒成立，即$$\forall x\in(-\infty,-2],ax+2+a\leqslant 0,$$所以$$\begin{cases}a>0,\\ -2a+2+a\leqslant 0.\end{cases}$$解得$$a\geqslant 2,$$即 $a$ 的取值范围是 $[2,+\infty)$． 问题2 当 $x\leqslant 0$ 时，$f(x)+1\geqslant 0$，求实数 $a$ 的取值范围． 答案2 $[-2,0)\cup(0,+\infty)$ 解析2 端点分析有\[\begin{array} {c|cc}\hline<br/>x&-\infty&0\\ \hline<br/>f(x)={\rm e}^{2x}\left(ax^2+2x-1\right)&0&-1\\ \hline<br/>f'(x)=2{\rm e}^{2x}\cdot x(ax+a+2)&&0\\ \hline<br/>f''(x)=2 {\rm e}^{2 x}\left[2ax^2+(4a+4)x+a+2\right]&&2a+4\\ \hline \end{array}\]可得讨论分界点为 $a=-2,0$．<br/><case>情形一</case> $a<-2$．此时函数在 $\left(-\dfrac{2+a}2,0\right)$ 上单调递增，又 $f(0)=-1$，因此在该区间上有\[f(x)<f(0)<-1,\]不符合题意．<br/><case>情形二</case> $-2\leqslant a<0$．此时\[f(x)\geqslant {\rm e}^{2x}\left(-2x^2+2x-1\right),\]记右侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)=-4{\rm e}^{2x}x^2\leqslant 0,\]因此\[\varphi(x)\geqslant \varphi(0)=-1,\]符合题意．<br/><case>情形三</case> $a\geqslant 0$．此时\[f(x)\geqslant {\rm e}^{2x}\left(2x-1\right),\]记右侧函数为 $\mu(x)$，则其导函数\[\mu'(x)=4x{\rm e}^{2x}\leqslant 0,\]因此\[\varphi(x)\geqslant \varphi(0)=-1,\]符合题意．<br/>综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[-2,+\infty)$． 备注2 求导得$$f'(x)=2x(ax+2+a){\rm e}^{2x}.$$当 $a<-2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\dfrac 2a-1\right)$ 上单减，在 $\left(-\dfrac 2a-1,0\right]$ 上单增，注意到 $f(0)=-1$，所以$$f(x)_{\min}=f\left(-\dfrac 2a-2\right)<-1,$$不符合题意；<br/>当 $-2\leqslant a<0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,0]$ 上单减，所以$$f(x)_{\min}=f(0)=-1,$$所以 $f(x)\geqslant -1$ 在 $(-\infty,0]$ 上恒成立；<br/>当 $a=0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,0]$ 上单增，因此 $f(x)\leqslant f(0)=-1$，不符合题意；<br/>当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\dfrac 2a-1\right)$ 上单增，在 $\left(-\dfrac 2a-1,0\right]$ 上单减．<br/>因为当 $x<\dfrac{-1-\sqrt{1+a}}{a}$ 时，$$ax+2+a>0,$$即 $f(x)>0$，所以当 $x\in\left(-\infty,-\dfrac 2a-1\right)$ 时，$f(x)>0$ 恒成立，因此$$\forall x\in(-\infty,0],f(x)\geqslant -1.$$综上，$a$ 的取值范围是 $[-2,0)\cup(0,+\infty)$．