设 $0<a<b<\dfrac{\pi}{2}$，证明：$\mathrm{e}^b-\mathrm{e}^a>(\sin b-\sin a)\mathrm{e}^a$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由不等式 $\mathrm{e}^x>x+1$ 可得$$\mathrm{e}^{b-a}-1>b-a,$$又函数 $f(x)=x-\sin x$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，可得$$f(b)>f(a),$$所以$$b-a>\sin b-\sin a,$$于是$$\mathrm{e}^{b-a}-1>\sin b-\sin a,$$即$$\mathrm{e}^b-\mathrm{e}^a>(\sin b-\sin a)\mathrm{e}^a.$$
答案
解析
备注
