已知点 $P(2,2)$，圆 $C:x^2+y^2-8y=0$，过点 $P$ 的动直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $M$，$O$ 为坐标原点．
【难度】
【出处】
2014年高考新课标Ⅰ卷（文）
【标注】
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求 $M$ 的轨迹方程；标注答案$x^2+y^2-2x-6y+8=0$解析圆 $C$ 的标准方程为 $C:x^2+(y-4)^2=16$，圆心坐标为 $C(0,4)$．连接 $CM$，根据垂径定理，有 $\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{AB}=0$（该式在 $M$ 点与 $C$ 点重合，或 $M$ 点与 $P$ 点重合时也成立），因此所求的轨迹方程为$$x(x-2)+(y-2)(y-4)=0,$$整理得$$x^2+y^2-2x-6y+8=0.$$
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当 $|OP|=|OM|$ 时，求 $l$ 的方程及 $\triangle POM$ 的面积．标注答案$\dfrac{16}5$解析由 $(1)$ 的结论可知 $M$ 的轨迹是以 $T(1,3)$ 为圆心 $\sqrt 2$ 为半径的圆．注意到 $OP$ 与 $TP$ 垂直，因此 $OP$ 为圆 $T$ 的切线，过 $O$ 作圆 $T$ 的另外一条切线，切点即 $M$（考虑到 $P,O,M$ 构成三角形，因此 $P\neq M$），如图．
因为 $OT\perp AB$，直线 $OT$ 的斜率为 $3$，因此直线 $l$ 的斜率为 $-\dfrac 13$，进而直线 $l$ 的方程为$$y=-\dfrac 13(x-2)+2,$$即$$x+3y-8=0.$$容易求得 $|OM|=|OP|=2\sqrt 2$，接下来计算 $\sin\angle POM$．由于$$\tan\angle POT=\dfrac{TP}{OP}=\dfrac 12,$$进而$$\sin\angle POM=\dfrac{2\tan\angle POT}{1+\tan^2\angle POT}=\dfrac{4}{5},$$从而三角形 $POM$ 的面积为$$\dfrac 12\sin\angle POM\cdot OP^2=\dfrac{16}5.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
