题目 已知 $S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$S_n$ 满足关系式 $2S_n=S_{n-1}-\left(\dfrac12\right)^{n-1}+2$，其中 $n\geqslant2,n\in\mathbb N^{\ast}$，且 $a_1=\dfrac12$． 问题1 令 $b_n=2^na_n$，求证：数列 $\{b_n\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=\dfrac{n}{2^n}$ 解析1 注意到题中关系式为“和式”，转化为 $a_n$ 的关系式是关键，因此，当 $n\geqslant2$ 时，\[\begin{split} 2S_n&=S_{n-1}-\left(\dfrac12\right)^{n-1}+2,\\ 2S_{n+1}&=S_n-\left(\dfrac12\right)^n+2,\end{split}\]两式相减，得$$2a_{n+1}=a_n+\left(\dfrac12\right)^n,$$两边同乘以 $2^n$，得$$2^{n+1}a_{n+1}-2^na_n=1,$$因此，数列 $\{2^na_n\}$ 是从第二项开始的等差数列，结合 $a_2=\dfrac12$，故$$2^na_n=n,$$注意到 $a_1=\dfrac12$ 也符合上式，因此，数列 $\{b_n\}$ 是等差数列，且 $a_n=\dfrac{n}{2^n}$． 备注1 问题2 在 $(1)$ 的条件下，求 $S_n$ 的取值范围． 答案2 $\left\{2-\dfrac{n+2}{2^n}\mid n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 解析2 由第 $(1)$ 小题可知 $a_n=\dfrac{n}{2^n}$ 为差比数列，利用错位相减法求和，即\[\begin{split} S_n&=\dfrac12\cdot1+\dfrac1{2^2}\cdot2+\dfrac1{2^3}\cdot3+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\cdot n,\\ \dfrac12S_n&=\dfrac1{2^2}\cdot1+\dfrac1{2^3}\cdot2+\cdots+\dfrac1{2^n}\cdot(n-1)+\dfrac1{2^{n+1}}\cdot n,\end{split}\]两式相减，得$$\dfrac12S_n=\dfrac12+\dfrac1{2^2}+\dfrac1{2^3}+\cdots+\dfrac1{2^n}-\dfrac1{2^{n+1}}n,$$整理得$$S_n=2-\dfrac{n+2}{2^n},$$故 $S_n$ 的取值范围是 $\left\{2-\dfrac{n+2}{2^n}\mid n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$． 备注2 第（2）小题中的 $S_n$ 的表达式也可以直接由已知条件求解，由已知条件得$$2^nS_n-2^{n-1}S_{n-1}=2^n-1,$$累加即得$$2^nS_n-2^1S_1=2^{n+1}-n-2.$$