已知椭圆 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$，定点 $A(2,1)$，过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆相交于 $M,N$ 两点，求线段 $MN$ 的中点 $P$ 的轨迹方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$x^2+2y^2-2x-2y=0$（$x^2+2y^2<2$）
【解析】
由题意知直线 $l$ 的斜率存在且不为 $0$，设 $P(x,y)$，当直线不经过原点时，根据椭圆的“垂径定理”，有$$\dfrac{y-0}{x-0}\cdot\dfrac{y-1}{x-2}=-\dfrac12,$$整理得$$x^2+2y^2-2x-2y=0.$$当直线 $l$ 经过原点时，中点即为原点，符合上式，又注意到点 $P$ 在椭圆内，因此线段 $MN$ 的中点 $P$ 的轨迹方程为\[x^2+2y^2-2x-2y=0(x^2+2y^2<2).\]
答案
解析
备注
