已知椭圆 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$，定点 $A(2,1)$，过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆相交于 $M,N$ 两点，求线段 $MN$ 的中点 $P$ 的轨迹方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$x^2+2y^2-2x-2y=0$（$x^2+2y^2<2$）
【解析】
设 $P(x_0,y_0)$，则中点弦所在直线 $MN$ 的方程为\[\dfrac{x_0x}{2}+y_0y-1=\dfrac{x_0^2}{2}+y_0^2-1,\]该直线恒过点 $(2,1)$，于是\[x_0+y_0-1=\dfrac{x_0^2}{2}+y_0^2-1,\]即\[x_0^2+2y_0^2-2x_0-2y_0=0,\]其中\[x_0^2+2y_0^2<2.\]因此所求的轨迹方程为\[x^2+2y^2-2x-2y=0(x^2+2y^2<2).\]
答案
解析
备注
