在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1,a_2=3$，$a_{n+2}=3a_{n+1}-ka_n(k\ne0)$ 对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 成立，令 $b_n=a_{n+1}-a_n$，且 $\{b_n\}$ 是等比数列．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求实数 $k$ 的值；标注答案$2$解析设数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$，则$$a_{n+2}-a_{n+1}=q\left(a_{n+1}-a_n\right),$$其中 $q\ne0$，整理得$$a_{n+2}=(q+1)a_{n+1}-qa_n,$$结合题中条件可知 $q=2,k=2$，因此，实数 $k$ 的值为 $2$．
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=2^n-1,n\in \mathbb N^{\ast}$解析由第一问可知，数列 $\{b_n\}$ 是首项为 $2$，公比为 $2$ 的等比数列，因此$$b_n=a_{n+1}-a_n=2^n,$$结合累加法，有$$a_n-a_1=2^{n-1}+\cdots+2^2+2^1,$$根据等比数列求和公式，有$$a_n=1+2\cdot\dfrac{1-2^{n-1}}{1-2}=2^n-1,$$因此，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=2^n-1,n\in \mathbb N^{\ast}$．
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求证：$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}<\dfrac{34}{21}$．标注答案略解析不等式左边\[m=1+\dfrac 13+\dfrac 17+\cdots+\dfrac{1}{2^n-1},\]考虑到\[\dfrac{\dfrac{1}{2^{n+1}-1}}{\dfrac{1}{2^n-1}}=\dfrac{2^{n}-1}{2^{n+1}-1}<\dfrac 12,\]因此考虑使用等比放缩法，有\[m<1+\dfrac 13+\dfrac{\dfrac 17}{1-\dfrac 12}=\dfrac{34}{21},\]因此原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
