如图，倾斜角为 $\theta$ 的直线 $OP$ 与单位圆在第一象限的部分交于点 $P$，单位圆与坐标轴交于点 $A(-1,0),B(0,-1)$，$PA$ 与 $y$ 轴交于点 $N$，$PB$ 与 $x$ 轴交于点 $M$，设 $
\overrightarrow{PO}=x\overrightarrow{PM}+y\overrightarrow{PN},x,y\in\mathbb R$，求 $x+y$ 的最小值．
\overrightarrow{PO}=x\overrightarrow{PM}+y\overrightarrow{PN},x,y\in\mathbb R$，求 $x+y$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt2$
【解析】
设 $P(\cos\theta,\sin\theta)$，其中 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则由截距坐标公式可得$$M\left(\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta},0\right),N\left(0,\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\right),$$代入 $
\overrightarrow{PO}=x\overrightarrow{PM}+y\overrightarrow{PN}$，可得$$(\cos\theta,\sin\theta)=x\cdot\left(\dfrac{\cos\theta\sin\theta}{1+\sin\theta},\sin\theta\right)+y\cdot\left(\cos\theta,\dfrac{\sin\theta\cos\theta}{1+\cos\theta}\right),$$于是$$(x,y)=\left(\dfrac{1+\sin\theta}{1+\sin\theta+\cos\theta},\dfrac{1+\cos\theta}{1+\sin\theta+\cos\theta}\right),\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right),$$所以$$x+y=\dfrac{1}{1+\sin\theta+\cos\theta}+1\geqslant \sqrt2,$$当且仅当 $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ 时上述不等式取得等号，因此 $x+y$ 的最小值为 $\sqrt2$．
\overrightarrow{PO}=x\overrightarrow{PM}+y\overrightarrow{PN}$，可得$$(\cos\theta,\sin\theta)=x\cdot\left(\dfrac{\cos\theta\sin\theta}{1+\sin\theta},\sin\theta\right)+y\cdot\left(\cos\theta,\dfrac{\sin\theta\cos\theta}{1+\cos\theta}\right),$$于是$$(x,y)=\left(\dfrac{1+\sin\theta}{1+\sin\theta+\cos\theta},\dfrac{1+\cos\theta}{1+\sin\theta+\cos\theta}\right),\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right),$$所以$$x+y=\dfrac{1}{1+\sin\theta+\cos\theta}+1\geqslant \sqrt2,$$当且仅当 $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ 时上述不等式取得等号，因此 $x+y$ 的最小值为 $\sqrt2$．
答案
解析
备注
