有一根长 $1$ 米且弹性能充分满足要求的绳子，
在绳子的一端有一个小虫（虫子本身的长度忽略不计）．现在小虫沿着绳子爬行 $1$ 厘米，停下来．
我们把绳子拉长 $1$ 米（此时绳长为 $2$ 米），然后小虫再爬行 $1$ 厘米．我们再把绳子拉长 $1$ 米
（此时绳长为 $3$ 米），小虫接着又爬行 $1$ 厘米．依次下去，绳子每拉长 $1$ 米，小虫就再爬行 $1$ 厘米．
请问：小虫能爬到绳子的另一端吗？请对你的答案说明理由．
在绳子的一端有一个小虫（虫子本身的长度忽略不计）．现在小虫沿着绳子爬行 $1$ 厘米，停下来．
我们把绳子拉长 $1$ 米（此时绳长为 $2$ 米），然后小虫再爬行 $1$ 厘米．我们再把绳子拉长 $1$ 米
（此时绳长为 $3$ 米），小虫接着又爬行 $1$ 厘米．依次下去，绳子每拉长 $1$ 米，小虫就再爬行 $1$ 厘米．
请问：小虫能爬到绳子的另一端吗？请对你的答案说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
小虫能爬到绳子的另一端
【解析】
小虫爬行第 $n$ 次之后，绳长为 $100n$ 厘米，小虫距离起点的长度（单位：厘米）为\[
1\times\dfrac{2}{1}\times\dfrac{3}{2}\times\cdots\times\dfrac{n}{n-1}+
1\times\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{3}\times\cdots\times\dfrac{n}{n-1}+\cdots+1=
n\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}\right).
\]因为\[
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}\right)=+\infty,
\]所以存在正整数 $N$，使得\[
N\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{N}\right)>100N,
\]故小虫能爬到绳子的另一端．
1\times\dfrac{2}{1}\times\dfrac{3}{2}\times\cdots\times\dfrac{n}{n-1}+
1\times\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{3}\times\cdots\times\dfrac{n}{n-1}+\cdots+1=
n\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}\right).
\]因为\[
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}\right)=+\infty,
\]所以存在正整数 $N$，使得\[
N\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{N}\right)>100N,
\]故小虫能爬到绳子的另一端．
答案
解析
备注
