已知正实数 $a,b,c$ 满足 $ab+bc+ca=3$，求证：$\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\leqslant \dfrac 32$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设\[(a,b,c)=(\sqrt 3\cot A,\sqrt 3\cot B,\sqrt 3\cot C),\]其中 $A+B+C=\pi$ 且 $A,B,C$ 均为锐角．欲证不等式即\[\sum_{cyc}\dfrac{1}{1+a^2}\geqslant\dfrac 32,\]考虑到函数\[f(x)=\dfrac{1}{1+3\cot^2x},\]的导函数\[f'(x)=\dfrac{3\sin 2x}{(2+\cos 2x)^2},\]其二阶导函数\[f''(x)=\dfrac{3(3+4\cos 2x-\cos 4x)}{(2+\cos 2x)^2}>0,\]于是 $f(x)$ 是下凸函数，从而\[\sum_{cyc}\dfrac{1}{1+a^2}=\sum_{cyc}\dfrac{1}{1+3\cot^2A}\geqslant\dfrac{1}{1+3\cot^2\dfrac{\pi}3}=\dfrac 32,\]原命题得证．
答案
解析
备注
