正实数 $a,b,c$ 满足 $ab+bc+ca=3$，求证：$\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\leqslant\dfrac{3}{2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设\[(a,b,c)=(\sqrt 3\cot A,\sqrt 3\cot B,\sqrt 3\cot C),\]其中 $A+B+C=\pi$ 且 $A,B,C$ 均为锐角，$A\leqslant B\leqslant C$．欲证不等式即\[\sum_{cyc}\dfrac{1}{1+a^2}\geqslant\dfrac 32,\]考虑到函数\[f(x)=\dfrac{1}{1+3\cot^2x},\]的导函数\[f'(x)=\dfrac{3\sin 2x}{(2+\cos 2x)^2},\]其二阶导函数\[f''(x)=\dfrac{3(3+4\cos 2x-\cos 4x)}{(2+\cos 2x)^2}>0,\]于是 $f(x)$ 在 $\left[0,\dfrac{5\pi}{12}\right]$ 上是下凸函数．
情形一 $C\leqslant \dfrac{5\pi}{12}$．此时根据琴生不等式，有\[\sum_{cyc}\dfrac{1}{1+a^2}=\sum_{cyc}\dfrac{1}{1+3\cot^2x}\geqslant \sum_{cyc}\dfrac{1}{1+3\cot^2\dfrac{\pi}3}=\dfrac 32.\]情形二 $\dfrac{5\pi}{12}<B\leqslant C<\dfrac{\pi}2$．此时由于\[f\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{11+6\sqrt 3}{26}>\dfrac 45,\]于是命题成立．
情形三 $B\leqslant \dfrac{5\pi}{12}<C<\dfrac{\pi}2$．此时根据琴生不等式，有\[\begin{split}\sum_{cyc}\dfrac{1}{1+a^2}&\geqslant \dfrac{2}{1+3\cot^2\dfrac{\pi-C}2}+\dfrac{1}{1+3\cot^2C}\\
&=\dfrac{3(1+\cos^3x)}{(2-\cos x)(2\cos^2+1)},\end{split} \]考虑函数\[g(x)=\dfrac{3(1+x^3)}{(2-x)(2x^2+1)},\]其导函数\[g'(x)=\dfrac{3(2x-1)(2x^3+6x-1)}{(x-2)^2(2x^2+1)^2},\]于是有\[\sum_{cyc}\dfrac{1}{1+a^2}\geqslant g\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 32.\]综上所述，原命题得证．
&=\dfrac{3(1+\cos^3x)}{(2-\cos x)(2\cos^2+1)},\end{split} \]考虑函数\[g(x)=\dfrac{3(1+x^3)}{(2-x)(2x^2+1)},\]其导函数\[g'(x)=\dfrac{3(2x-1)(2x^3+6x-1)}{(x-2)^2(2x^2+1)^2},\]于是有\[\sum_{cyc}\dfrac{1}{1+a^2}\geqslant g\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 32.\]综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
