正实数 $a,b,c$ 满足 $ab+bc+ca=3$，求证：$\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\leqslant\dfrac{3}{2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
欲证不等式即\[\sum_{cyc}\dfrac{1}{a^2+1}\geqslant \dfrac 32,\]也即\[\sum_{cyc}2\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\geqslant 3\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right),\]展开整理，即\[3+a^2+b^2+c^2\geqslant a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3a^2b^2c^2,\]也即\[\left(\sum_{cyc}ab\right)^3+\sum_{cyc}a^2\cdot \left(\sum_{cyc}ab\right)^2\geqslant 3\sum_{cyc}a^2b^2\cdot \sum_{cyc}ab+27a^2b^2c^2,\]整理得\[\sum_{cyc}\left(a^2b^4+a^4b^2\right)+2abc\sum_{cyc}\left(a^3+a^2b+ab^2\right)\geqslant 2\sum_{cyc}a^3b^3+18a^2b^2c^2,\]又根据均值不等式，有\[\begin{split} \sum_{cyc}\left(a^2b^4+a^4b^2\right)&\geqslant \sum_{cyc}\left(2a^3b^3\right)\\
\sum_{cyc}\left(a^3+a^2b+ab^2\right)& \geqslant 9abc,\end{split}\]于是原命题得证．
\sum_{cyc}\left(a^3+a^2b+ab^2\right)& \geqslant 9abc,\end{split}\]于是原命题得证．
答案
解析
备注
