正实数 $a,b,c$ 满足 $ab+bc+ca=3$，求证：$\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\leqslant\dfrac{3}{2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题意，\begin{align*}
&\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\leqslant\dfrac{3}{2}\\
\Longleftrightarrow{}&\dfrac{\displaystyle\sum_{cyc}a^2\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\leqslant\dfrac{3}{2}\\
\Longleftrightarrow{}&2\left[\displaystyle\sum_{cyc}a^2\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\right]\leqslant 3\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\\
\Longleftrightarrow{}&2\left(3a^2b^2c^2+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+a^2+b^2+c^2\right)\leqslant 3\left(a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2+1\right)\\
\Longleftrightarrow{}&3a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leqslant a^2+b^2+c^2+3\\
\Longleftrightarrow{}&9a^2b^2c^2+3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\leqslant 3\left(a^2+b^2+c^2\right)+(ab+bc+ca)^2\\
\Longleftrightarrow{}&9a^2b^2c^2+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\leqslant 3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc(a+b+c).
\end{align*}因为\begin{align*}
&3\left(a^2+b^2+c^2\right)\\
={}&(ab+bc+ca)\left(a^2+b^2+c^2\right)\\
={}&abc(a+b+c)+\left(a^3b+ab^3\right)+\left(b^3c+bc^3\right)+\left(c^3a+a^3c\right)\\
\geqslant{}&abc(a+b+c)+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right),
\end{align*}所以只需证明\[
9a^2b^2c^2\leqslant 3abc(a+b+c),
\]即\[
3abc\leqslant a+b+c.\cdots ①
\]因为 $ab+bc+ca=3$，所以\[
(a+b+c)^2\geqslant 3(ab+bc+ca)=9,
\]故\[
a+b+c\geqslant 3.\cdots ②
\]因为\[
3=ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{ab\cdot bc\cdot ca},
\]所以\[
abc\leqslant 1.\cdots ③
\]由 ① 式与 ② 式可知，
③ 式成立．
证毕．
&\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\leqslant\dfrac{3}{2}\\
\Longleftrightarrow{}&\dfrac{\displaystyle\sum_{cyc}a^2\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\leqslant\dfrac{3}{2}\\
\Longleftrightarrow{}&2\left[\displaystyle\sum_{cyc}a^2\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\right]\leqslant 3\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\\
\Longleftrightarrow{}&2\left(3a^2b^2c^2+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+a^2+b^2+c^2\right)\leqslant 3\left(a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2+1\right)\\
\Longleftrightarrow{}&3a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leqslant a^2+b^2+c^2+3\\
\Longleftrightarrow{}&9a^2b^2c^2+3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\leqslant 3\left(a^2+b^2+c^2\right)+(ab+bc+ca)^2\\
\Longleftrightarrow{}&9a^2b^2c^2+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\leqslant 3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc(a+b+c).
\end{align*}因为\begin{align*}
&3\left(a^2+b^2+c^2\right)\\
={}&(ab+bc+ca)\left(a^2+b^2+c^2\right)\\
={}&abc(a+b+c)+\left(a^3b+ab^3\right)+\left(b^3c+bc^3\right)+\left(c^3a+a^3c\right)\\
\geqslant{}&abc(a+b+c)+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right),
\end{align*}所以只需证明\[
9a^2b^2c^2\leqslant 3abc(a+b+c),
\]即\[
3abc\leqslant a+b+c.\cdots ①
\]因为 $ab+bc+ca=3$，所以\[
(a+b+c)^2\geqslant 3(ab+bc+ca)=9,
\]故\[
a+b+c\geqslant 3.\cdots ②
\]因为\[
3=ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{ab\cdot bc\cdot ca},
\]所以\[
abc\leqslant 1.\cdots ③
\]由 ① 式与 ② 式可知，
③ 式成立．
证毕．
答案
解析
备注
