已知 $n\in \mathbb N^{\ast}$，求证：$\displaystyle\dfrac{1}{2}\leqslant\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{n+i}<\ln2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{n+i}\geqslant\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{2n}=\dfrac 12.\]而利用积分放缩法，有\[\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{n+i}<\int_n^{2n}\dfrac 1x{ {\rm d}} x=\ln x\Big|_n^{2n}=\ln 2,\]于是原命题得证．
答案
解析
备注
