设 $a$，$b\in\mathbb R^+$，且 $a+b=1$．求证：$\sqrt{\dfrac 1a-a^2}+\sqrt{\dfrac1b-b^2}\geqslant\sqrt7$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $x=ab$，$0<x\leqslant\dfrac14$，题中不等式左侧为 $m$，则$$\begin{split} m^2
&=\left( \sqrt{\dfrac{1-a^3}{a}}+\sqrt{\dfrac{1-b^3}{b}}\right)^2\\
&=\dfrac{b(1+a+a^2)}{a}+\dfrac{a(1+b+b^2)}{b}+2\sqrt{(1+a+a^2)(1+b+b^2)}\\
&=\dfrac ba+\dfrac ab+a+b+2ab+2\sqrt{3+(ab)^2}\\
&=\dfrac1x+2x+2\sqrt{3+x^2}-1\\
&=\dfrac1x+16x+2\sqrt{3+x^2}-14x-1\\
&\geqslant 2\sqrt{\dfrac1x\cdot16x}+2\sqrt{48x^2+x^2}-14x-1\\
&=7,
\end{split}$$因此原命题得证．
&=\left( \sqrt{\dfrac{1-a^3}{a}}+\sqrt{\dfrac{1-b^3}{b}}\right)^2\\
&=\dfrac{b(1+a+a^2)}{a}+\dfrac{a(1+b+b^2)}{b}+2\sqrt{(1+a+a^2)(1+b+b^2)}\\
&=\dfrac ba+\dfrac ab+a+b+2ab+2\sqrt{3+(ab)^2}\\
&=\dfrac1x+2x+2\sqrt{3+x^2}-1\\
&=\dfrac1x+16x+2\sqrt{3+x^2}-14x-1\\
&\geqslant 2\sqrt{\dfrac1x\cdot16x}+2\sqrt{48x^2+x^2}-14x-1\\
&=7,
\end{split}$$因此原命题得证．
答案
解析
备注
