已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,a>b>0$，离心率为 $\dfrac{\sqrt2}{2}$，点 $Q\left(b,\dfrac ab\right)$ 在椭圆上，$O$ 为坐标原点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1$解析由于椭圆离心率为 $\dfrac{\sqrt2}{2}$，所以 $\dfrac ab=\sqrt2$，所以$$\dfrac12+\dfrac2{b^2}=1,$$所以 $b=2,a=2\sqrt2$．所以所求椭圆方程为$$\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1.$$
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已知点 $P,M,N$ 为椭圆 $C$ 上的三点，若四边形 $OPMN$ 为平行四边形，证明四边形 $OPMN$ 的面积 $S$ 为定值，并求该定值．标注答案为定值 $2\sqrt6$解析根据题意设 $P(2\sqrt2\cos\alpha,2\sin\alpha)$，$N(2\sqrt2\cos\beta,2\sin\beta)$，则 $M(2\sqrt2(\cos\alpha+\cos\beta),2(\sin\alpha+\sin\beta))$，由于 $M$ 在椭圆上，所以其坐标满足椭圆方程 $C$，所以有$$(\cos\alpha+\cos\beta)^2+(\sin\alpha+\sin\beta)^2=1,$$即$$\cos(\alpha-\beta)=-\dfrac12,$$记平行四边形 $OPMN$ 的面积为 $S$，则由面积坐标公式可得$$S=|2\sqrt2\cos\alpha\cdot 2\sin\beta-2\sin\alpha\cdot 2\sqrt2\cos\beta|=4\sqrt2|\sin(\alpha-\beta)|=2\sqrt6.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
