已知 $ \alpha,\beta $ 是方程 $ 4x^2-4tx-1=0 $（$ t\in\mathbb R $）的两个不等实根，函数 $ f(x)=\dfrac{ 2x-t}{x^2+1} $ 的定义域为 $ [\alpha,\beta] $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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当 $ t=0 $ 时，求函数 $ f(x) $ 的最值；标注答案最小值为 $ -\dfrac 45 $，最大值为 $ \dfrac 45 $解析当 $ t=0 $ 时，$ \alpha=-\dfrac 12 $，$ \beta=\dfrac 12 $．此时\[ f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1},x\in\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right], \]该函数在定义域上单调递增，于是函数 $ f(x) $ 的最小值为 $ -\dfrac 45 $，最大值为 $ \dfrac 45 $．
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试判断函数 $ f(x) $ 在区间 $ [\alpha,\beta] $ 上的单调性；标注答案单调递增解析函数 $ f(x) $ 的导函数\[ f'(x)=\dfrac{2}{(x^2+1)^2}\cdot (-x^2+tx+1). \]由于 $ \alpha,\beta $ 是方程\[ 4x^2-4tx-1=0 \]的两个不等实根，于是当 $ x\in [\alpha,\beta] $ 时，有\[ 4x ^2-4tx-1\in\left[-t^2-\dfrac 14,0\right], \]于是\[ -x^2+tx+1\in\left[\dfrac 34,\dfrac 14t ^2+\dfrac{13}{16}\right], \]于是函数 $ f(x) $ 在区间 $ [\alpha,\beta] $ 上单调递增．
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设 $ g(t) $ 为函数 $ f(x) $ 的最大值与最小值的差，$ \theta_1,\theta_2,\theta_3\in \left(0,\dfrac{\pi}2\right) $，且 $ \sin\theta_1+\sin\theta_2+\sin\theta_3=1 $，求证：$ \dfrac{1}{g(\tan\theta_1)}+\dfrac{1}{g(\tan\theta_2 )}+\dfrac{1}{g(\tan\theta_3)}<\dfrac{3\sqrt 6}4 $．标注答案略解析根据第 $ (2) $ 小题的结果，有\[ \begin{split} g(t)&=f(\beta)-f(\alpha)\\ &=\dfrac{2\beta-t} {\beta^2+1}-\dfrac{2\alpha-t}{\alpha^2+1}\\ &=\dfrac{(\beta-\alpha)[-2\alpha\beta+t( \alpha+\beta)+2]}{(\alpha\beta)^2+\alpha^2+\beta^2+1}\\ &=\dfrac{8\sqrt{t^2+1}\cdot (2t^2+5)}{16t^2+25} , \end{split} \]于是\[ \begin{split} \dfrac{1}{g(\tan\theta)}&=\dfrac{ \dfrac{16\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+25}{8\cdot \dfrac{1}{\cos\theta}\cdot \left(\dfrac{2\sin^2 \theta}{\cos^2\theta}+5\right)}\\ &=\dfrac{16+9\cos^2\theta}{8\left(\dfrac{2}{\cos\theta} +3\cos\theta\right)}\\ &\leqslant \dfrac{25-9\sin^2\theta}{16\sqrt 6}, \end{split} \]等号当 $\cos^2\theta=\dfrac 23$ 时取得，于是\[\sum_{i=1}^3\dfrac{1}{g(\tan\theta_i)}\leqslant \dfrac{25-9\displaystyle\sum_{i=1}^3 \sin^2\theta_i}{16 \sqrt 6}. \]另一方面，有\[1=\sin\theta_1+\sin\theta_2+\sin\theta_3\leqslant \sqrt 3\cdot \sqrt{\sin^2\theta_1+\sin^2\theta_2+\sin^2\theta_3},\]于是\[\sum_{i=1}^3 \sin^2\theta_i\geqslant \dfrac 13,\]等号当 $\cos^2\theta =\dfrac 89$ 时取得，从而\[\sum_{i=1}^3\dfrac{1}{g(\tan\theta_i)}< \dfrac{75-9\cdot \dfrac 13}{16\sqrt 6}=\dfrac{3\sqrt 6}4,\]原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
