题目 已知函数 $f(x)=x\ln x+a$． 问题1 若对定义域内任意 $x$，均有 $f(x)>0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围； 答案1 $\left({\rm e}^{-1},+\infty\right)$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=1+\ln x,\]于是\[\begin{array}{c|ccc}\hline<br/>x&\left(0,{\rm e}^{-1}\right)&{\rm e}^{-1}&\left({\rm e}^{-1},+\infty\right)\\ \hline<br/>f'(x)&-&0&+\\ \hline<br/>f(x)&\searrow&-{\rm e}^{-1}+a&\nearrow\\ \hline<br/>\end{array}\]因此根据题意，实数 $a$ 的取值范围是 $\left({\rm e}^{-1},+\infty\right)$． 备注1 问题2 若 $0<x_1<x_2$，求证：$\forall x\in (x_1,x_2),\dfrac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}<\dfrac{f(x)-f(x_2)}{x-x_2}$． 答案2 略 解析2 先证明<br/><sol>引理</sol>若 $m>0$，则函数 $g(x)=\dfrac{f(x)-f(m)}{x-m}$ 在 $(m,+\infty)$ 单调递增．<br/><sol>证明</sol>函数 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=\dfrac{m}{(x-m)^2}\cdot\left(\dfrac xm-1-\ln\dfrac{x}{m}\right),\]而我们熟知\[\forall x>1,\ln x<x-1,\]于是\[g'(x)>0,\]函数 $g(x)$ 单调递增，引理得证．<br/>利用引理，可得当 $x_1<x<x_2$ 时，有\[\dfrac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}<\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\dfrac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x},\]原命题得证． 备注2