题目 已知 $\overrightarrow m=(\sin{\omega x},\cos{\omega x})$，$\overrightarrow n=(\cos {\omega x},\cos {\omega x})$，其中 $\omega>0$，若函数 $f(x)=\overrightarrow m\cdot \overrightarrow n-\dfrac 12$ 的图象上相邻两对称轴间的距离为 $2\pi$． 问题1 求方程 $f(x)-\dfrac{\sqrt 6}{4}=0$ 在区间 $[0,17]$ 内的解； 答案1 $x=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{25\pi}{6},\dfrac{29\pi}{6}$ 解析1 根据题意有\[f(x)=\left(\sin{\omega x},\cos {\omega x}\right)\cdot\left(\cos{\omega x},\cos\omega x\right)-\dfrac 12,\]即\[f(x)=\dfrac{\sqrt 2}{2}\sin\left(2\omega x+\dfrac{\pi}{4}\right),\]因为 $f(x)$ 图象相邻两对称轴间的距离为 $2\pi$，则$$T=\dfrac{2\pi}{2\omega}=4\pi,$$所以 $\omega =\dfrac 14$，则$$f(x)=\dfrac {\sqrt 2}{2}\sin \left(\dfrac x2+\dfrac{\pi}{4}\right).$$因此题中方程即$$\sin \left(\dfrac x2+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt 3}{2}.$$所以$$\left(x=\dfrac{\pi}{6}+4k\pi\right)\lor\left(x=\dfrac{5\pi}{6}+4k\pi\right),$$其中 $k\in{\mathbb Z}$．结合 $x\in[0,17]$ 可得$$x=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{25\pi}{6},\dfrac{29\pi}{6}.$$ 备注1 问题2 若 $\overrightarrow m\cdot \overrightarrow n=\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 2}{4}$，求 $\sin x$； 答案2 $-\dfrac 12$ 解析2 题意即$$f(x)=\dfrac{\sqrt 2}{4},$$所以$$\sin\left(\dfrac x2+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac 12.$$因此\[\sin x=\sin\left(2\left(\dfrac x2+\dfrac{\pi}4\right)-\dfrac{\pi}2\right)=-\left[1-2\sin^2\left(\dfrac x2+\dfrac{\pi}4\right)\right]=-\dfrac 12.\] 备注2 问题3 在 $\triangle{ABC}$ 中，$a,b,c$ 分别是角 $A,B,C$ 的对边，且满足 $(2a-c)\cos B=b\cos C$，求函数 $f(A)$ 的值域． 答案3 $\left(\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 2}{2}\right]$ 解析3 由 $(2a-c)\cos B=b\cos C$ 得$$(2\sin A-\sin C)\cos B=\sin B\cos C,$$所以$$2\sin A\cos B=\sin(B+C)=\sin A,$$由 $0<A<\pi$ 得$$\sin A>0,$$所以$$\cos B=\dfrac 12,$$所以 $B=\dfrac {\pi}{3}$，故$$0<A<\dfrac{2\pi}{3}.$$因为$$\dfrac {\pi}{4}<\dfrac A2+\dfrac {\pi}{4}<\dfrac{7\pi}{12},$$所以$$\dfrac 12<f(A)\leqslant \dfrac{\sqrt 2}{2},$$即函数 $f(A)$ 的值域为 $\left(\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 2}{2}\right]$． 备注3 2015-2016学年河北省衡水中学高一（上）期末数学试卷（理科）