对于定义域为 $D$ 的函数 $y=f(x)$，若同时满足下列条件：
① $f(x)$ 在 $D$ 内单调递增或单调递减；
② 存在区间 $[a,b]\subseteq D$，使 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的值域为 $[a,b]$，那么把 $y=f(x)(x\in D)$ 叫闭函数．
① $f(x)$ 在 $D$ 内单调递增或单调递减；
② 存在区间 $[a,b]\subseteq D$，使 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的值域为 $[a,b]$，那么把 $y=f(x)(x\in D)$ 叫闭函数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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判断函数 $f(x)=2\sin{\dfrac{\pi}{4}x}$，$x\in[-2,2]$ 是否为闭函数？并说明理由．标注答案$f(x)$ 是闭函数解析易知函数 $f(x)=2\sin {\dfrac{\pi}{4}x}$ 在 $[-2,2]$ 上单调递增，且$$f(-2)=-2,f(2)=2.$$即函数 $f(x)$ 的定义域和值域都为 $[-2,2]$，所以 $f(x)$ 是闭函数．
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判断函数 $y=x^2-2kx+k+1$，$x\in[k,+\infty)$ 是否为闭函数？若是闭函数，求实数 $k$ 的取值范围．标注答案是闭函数，$\left(-1,-\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)\cup\left(\dfrac{\sqrt 3}{2},1\right)$解析令 $g(x)=x^2-2kx+k+1$，$x\in[k,+\infty)$，则 $g(x)$ 在 $[k,+\infty)$ 上单调递增．
若存在区间 $[a,b]\subseteq [k,+\infty)$，使 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上的值域为 $[a,b]$，则$$\begin{cases}g(a)=a,\\ g(b)=b.\end{cases}$$所以方程 $g(x)=x$ 在 $[k,+\infty)$ 上有两个不等实根．方程 $g(x)=x$ 即$$x^2-(2k+1)x+k+1=0,$$所以$$\begin{cases}k^2-k(2k+1)+k+1>0,\\ \dfrac{2k+1}{2}>k,\\ \Delta>0.\end{cases}$$解得$$-1<k<-\dfrac {\sqrt 3}{2}\lor \dfrac{\sqrt 3}{2}<k<1.$$即 $k$ 的取值范围是 $\left(-1,-\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)\cup\left(\dfrac{\sqrt 3}{2},1\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
