题目 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，且当 $n\in \mathbb N^{\ast}$ 时，$a_{2n}=a_{2n-1}+(-2)^{n-1}$，$a_{2n+1}=a_{2n}+4^n$． 问题1 求 $a_2,a_4$ 及数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； 答案1 略 解析1 根据题意，有\[a_{2n+1}=a_{2n-1}+4^n+(-2)^{n-1},\]于是\[a_{2n-1}=1+\dfrac 43(4^{n-1}-1)-\dfrac 13\left[(-2)^{n-1}-1\right],\]也即\[a_{2n-1}=\dfrac{4^n-(-2)^{n-1}}3,\]进而\[a_{2n}=a_{2n-1}+(-2)^{n-1}=\dfrac{4^n-(-2)^n}{3},\]于是\[a_2=2,a_4=4,\]且\[a_n=\begin{cases} \dfrac 13\left[2^{n+1}-(-2)^{\frac{n-1}2}\right],&2\nmid n,\\<br/>\dfrac 13\left[2^n-(-2)^{\frac n2}\right],&2\mid n.\end{cases}\] 备注1 问题2 记 $b_n=\dfrac{1}{a_{2n+2}-a_{2n}}$，求证：$b_1+b_2+\cdots+b_n<\dfrac 35$． 答案2 略 解析2 根据题意，有\[b_n=\dfrac{3}{\left[2^{2n+2}-(-2)^{n+1}\right]-\left[2^{2n}-(-2)^n\right]}=\dfrac{1}{ 4^n+(-2)^n}.\]<sol>方式一</sol>后移放缩起点后等比放缩可得\[\begin{split} b_1+b_2+\cdots +b_n&<\dfrac 12+\dfrac 1{20}+\sum_{k=3}^n\dfrac{1}{4^k-2^k}\\<br/>&<\dfrac{11}{20}+\dfrac{1}{56}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac 14}\\<br/>&=\dfrac{241}{420}<\dfrac 35,\end{split}\]于是命题得证．<br/><sol>方式二</sol>等比放缩可得\[\begin{split} b_1+b_2+\cdots +b_n&<\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{4^{2k-1}-2^{2k-1}}+\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{4^{2k}}\\<br/>&<\dfrac 12\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac 1{16}}+\dfrac{1}{16}\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{16}}\\<br/>&=\dfrac 35.\end{split}\] 备注2